Democracia I-II

Si el método de votación mayoritario, en cualquiera de sus versiones, no es el apropiado, ¿entonces cuál es el método de votación que mejor representa el bien común? Para responder esa pregunta, procedo en dos pasos: (1) identifico unas condiciones que sería deseable que el método de votación satisficiera, y (2) me pregunto cuál método de votación satisface las condiciones identificadas.

Esta forma de proceder es común en la literatura. Así Arrow (1951) probó su teorema de la imposibilidad de unas preferencias colectivas consistentes; Nash (1950) halló su solución al problema de la negociación; y May (1952) identificó las condiciones que caracterizan a la votación mayoritaria. Así que, procediendo de esa manera, navego por aguas relativamente familiares.

Pido perdón de antemano por la longitud de esta entrada, y porque se me colaron algunos aspectos técnicos, que yo creo son necesarios para la cabal comprensión de lo que a continuación expongo. Sin embargo, en una lectura rápida, usted bien puede leer solo las cuatro condiciones, sin entrar en el detalle de sus explicaciones, y así la lectura se reduce considerablemente.

Las condiciones que identifico son las siguientes:

• Un problema de escogencia social está caracterizado por tres elementos: (1) el grupo de individuos (“ciudadanos”) que toma la decisión; (2) el grupo de opciones o candidatos que tiene el grupo de individuos; y (3) las preferencias que cada uno de los miembros del grupo de ciudadanos tiene sobre el grupo de opciones o candidatos.

Que el problema de escogencia social esté caracterizado por estos tres elementos quiere decir que cambiar cualquiera de ellos debe cambiar lo que se entienda por una elección óptima. Si el grupo de individuos cambia, si el grupo de candidatos cambia o si las preferencias de los individuos sobre los candidatos cambian, las preferencias colectivas deben cambiar. Eso es lo que quiere decir que el problema de escogencia social esté caracterizado por el grupo de individuos, el grupo de candidatos y el grupo de preferencias que cada individuo tiene sobre todos los candidatos.

• Las preferencias de los individuos sobre los candidatos u opciones son cardinales.

Se dice que las preferencias de los individuos son cardinales cuando su representación revela información sobre la intensidad de las preferencias. La noción de las preferencias cardinales se opone a la noción de las preferencias ordinales. Para aclarar estos conceptos quizás valga la pena un ejemplo. Si yo digo que Paulina Vega me gusta más que Teresa Gutiérrez simplemente digo que prefiero a Paulina sobre Teresa, pero no estoy diciendo cuánto la prefiero. Este tipo de preferencias es ordinal, porque lo único que hace es ordenar los candidatos; no me dice nada sobre la magnitud de las preferencias. En cambio, si digo que Paulina Vega me parece una mamacita y que Teresa Gutiérrez me parece un “gurre” (palabra que no aparece en el Diccionario de la Real Academia Española), estoy avanzando en la ruta de describir la intensidad de mis preferencias; es decir, me estoy moviendo en la dirección de las preferencias cardinales. Una cosa es que yo diga que Paulina Vega me gusta más que Teresa Gutiérrez; otra cosa es que yo diga que Paulina Vega me gusta más que Carolina Cruz. En un caso Paulina me gusta muuuuucho más; en otro me gusta más, pero no mucho.

El principio de que las preferencias de los individuos sobre los candidatos son cardinales es polémico porque muchos economistas han tendido a suponer que las preferencias de los individuos deberían ser consideradas como ordinales, no como cardinales. Esta es la que pudiéramos llamar la posición ortodoxa en economía. Esta posición, que se desarrolló principalmente en los años 1930 con los trabajos de Lionel Robbins, entre otros, tomó popularidad por el reconocimiento de que no es posible comparar las preferencias de dos individuos. Si un individuo dice que prefiere la pasta al sushi y otro también, no hay un modo objetivo de descubrir que uno de los dos prefiere la pasta al sushi más que el otro. Y una forma de evitar esas comparaciones interpersonales de bienestar era proscribiendo las preferencias cardinales de la teoría.

Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de toma de decisiones bajo incertidumbre se ha venido cuestionando la posición ortodoxa en economía. La teoría de toma de decisiones bajo incertidumbre más popular entre los economistas, también conocida como teoría de Von Neumann-Morgensten, por sus proponentes iniciales, es una teoría que supone que las preferencias de los individuos son cardinales. Pero pocos economistas parecen haberse percatado de la contradicción entre su compromiso con las preferencias ordinales y su continuado uso de la teoría de decisiones bajo incertidumbre de Von Neumann y Morgensten.

El punto de fondo es que prohibir las preferencias cardinales para evitar la comparación interpersonal de bienestar es una medida demasiado drástica: por una parte, la gente evidentemente tiene intensidad en sus preferencias; por otra, aunque las preferencias cardinales son necesarias para tener comparaciones interpersonales de bienestar, no son suficientes: uno bien puede tener preferencias cardinales y sin embargo no tener el patrón de comparación que permita decir que un determinado número de unidades de bienestar de un individuo es equivalente a un determinado número de unidades de bienestar de otro individuo.

Hay un punto de fondo cuando se afirma que las preferencias de los individuos sobre los candidatos u opciones son cardinales. Usando la idea contraria, es decir, suponiendo que las preferencias de los individuos son ordinales, Arrow (1951) demostró (y, entre otras razones, obtuvo el premio Nobel por eso) que ningún sistema de agregación de preferencias individuales para obtener unas preferencias colectivas podía ser consistente. Este resultado, naturalmente, es muy fuerte. En buen español, lo que quiere decir es que ningún método de votación puede ser bueno. Pero se puede afirmar que el resultado de Arrow está predeterminado por su supuesto de que las preferencias son ordinales. Si uno deja que las preferencias sean cardinales, entonces sí es posible hallar métodos de votación “adecuados”. La pregunta se vuelve: ¿qué tan adecuado es suponer que las preferencias de los individuos son ordinales? Desde mi punto de vista, es evidente que las preferencias de los individuos se expresan con diversas intensidades, es decir, son cardinales.

El lío de las preferencias cardinales es que admiten múltiples representaciones, y eso puede causar problemas. Para ilustrar la idea, considere mis preferencias sobre Paulina Vega, Carolina Cruz y Teresa Gutiérrez. En una calificación de 0 a 5, a Paulina le doy 5, a Carolina Cruz 4.8 y a Teresa Gutiérrez 0. Esas mismas preferencias las puedo representar de la siguiente manera: a Paulina le doy 12 puntos; a Carolina, 11.6; y a Teresa, 2. En general, si S es el conjunto de opciones, si s es un elemento del conjunto S y si represento mis preferencias sobre S por medio de una función u = u(s), entonces, si u(s) representa mis preferencias cardinales, resulta que la transformación a + bu(s), con b mayor o igual que cero, también las representa. La constante a modifica el origen de la función. La constante b modifica la unidad de medida de la función (en mi ejemplo, supuse que a = 2 y que b = 2). De hecho, esa es la definición formal de una función cardinal: una función es cardinal si u(s) y a + bu(s) son la misma función. En lenguaje corriente, si yo tengo una función cardinal, cambiar su origen o su unidad de medición no afecta la información contenida en la función: sigue siendo la misma función. En lenguaje un poco más técnico, una función cardinal es única hasta una transformación afín positiva.

Es importante entender por qué se dice que u(s) y a + bu(s) son la misma función. La razón es que esa transformación, ajustada por la unidad de medida, preserva la distancia entre opciones. Por ejemplo, con mis preferencias iniciales mencionadas en el párrafo anterior, la distancia entre Paulina  y Carolina es u(Paulina) - u(Carolina) = 5 – 4.8 = 0.2. Ahora, con mis preferencias transformadas, esa distancia es a + bu(Paulina) – (a + bu(Carolina)) = 12 – 11.6 = 0.4. Esta distancia es igual a la distancia inicial, ajustada por la unidad de medida: 0.4 = 0.2 x 2. Esta propiedad es cierta para cualquier par de opciones y para cualquier transformación cardinalmente consistente de las preferencias individuales, y será muy útil e importante para fijar la tercera condición que queremos imponer a nuestro método de votación.

• El método de votación debe ser invariante ante transformaciones cardinalmente consistentes de las funciones de utilidad individual.

Esta condición se vuelve necesaria precisamente por el hecho de que las funciones cardinales admiten múltiples representaciones. Sin embargo, si todas las representaciones son cardinalmente consistentes, lo cual quiere decir que la función cardinal sigue siendo la misma, entonces esas transformaciones no deberían afectar las preferencias colectivas. Por eso se puede (o debe) imponer la condición 3. Esta condición implica que el método de votación solo debe depender de las distancias entre las opciones, ajustadas por la unidad de medida. Formalmente, la función de utilidad social para un grupo de n ciudadanos debe tener la forma general:

w = w(s) = w((u₁(s) – u₁(o))/b₁, (u₂(s) – u₂(o))/b₂, … , (u_n(s) – u_n(o))/b_n)

donde o es una situación social que todos los miembros del grupo conceden que es la peor situación posible. Muy intuitivamente, la condición 3 dice que, si las distancias entre opciones son medidas en “metros”, en “kilómetros” o en cualquier otra unidad, eso no debe ser relevante para la definición de las preferencias colectivas.

• La escogencia social debe ser la opción eficiente que garantice una distribución igualitaria del poder.

Las anteriores condiciones, sobre todo la 2 y la 3, son condiciones de carácter técnico, introducidas para garantizar la existencia y consistencia del método de votación. La condición 4, en cambio, es una condición de carácter ético, que trata de dar expresión a la aspiración de que, en una democracia, todo el mundo vale lo mismo: a todo el mundo le debe corresponder una cuota de poder igual a la de todos los demás.

¿Cómo formalizar la noción de poder? Sin dar mucho detalle, se puede plantear lo siguiente: suponga que la izquierda prefiere la opción I, que es lo peor para la derecha. Esta prefiere la opción D, que es lo peor para la izquierda. Uno diría que, si la sociedad acoge la opción I, entonces la izquierda tiene todo el poder, y la derecha ninguno. Si la sociedad acoge la opción D, entonces la derecha tiene todo el poder, y la izquierda ninguno. Eso es precisamente lo que no se quiere. “Poder” en este contexto quiere decir que todos los individuos puedan avanzar en la dirección de sus máximas aspiraciones en la misma proporción.

El punto de fondo es que se puede demostrar que las cuatro condiciones anteriores implican un método de votación muy específico. Los detalles matemáticos de la demostración se describen en Castellanos (2012). El método de votación al que nos referimos fue inicialmente propuesto por Kalai y Smorodinsky (1975) como una solución alternativa al problema de la negociación de Nash (1950). Este método propone que la función de utilidad social está dada por la expresión:

w = w(s) = mín[(u₁(s) – u₁(o))/(u₁(m) – u₁(o)), … , (u_n(s) – u_n(o))/(u_n(m) – u_n(o))]

donde m es una situación social que todos los miembros del grupo conceden que es la mejor situación posible.

Para hacer operativo este método de votación, se le pide a cada individuo que le asigne una calificación a cada uno de los candidatos. En esto hay una diferencia con el método de votación mayoritario, en el cual el ciudadano, conceptualmente, solo le asigna un 1 a su candidato más preferido, y por extensión un 0 a todos los demás candidatos. La escala de la calificación se puede escoger arbitrariamente, ya que las preferencias cardinales admiten transformaciones para ajustar la escala. Entonces, por ejemplo, podemos utilizar la escala de 0 a 5. El candidato ganador es aquel cuya nota mínima es la mayor de todas.

Por ejemplo, considere el ejemplo que introdujimos en la entrada Democracia I-I, en el que suponemos que la sociedad está dividida en tres grupos: la izquierda, el centro y la derecha. Hay cuatro candidatos: I, B, C y D, y las preferencias de cada grupo por cada uno de los candidatos son las siguientes:

Izquierda: I, B, C, D
Centro: C, B, D, I
Derecha: D, B, C, I

Entonces cada grupo califica a cada uno de los candidatos. Las calificaciones de la izquierda son:

I, 5;
B, 3.5;
C, 2;
D, 0.

Las calificaciones del centro son:

C, 5;
B, 3.5;
D, 2;
I, 0.

Las calificaciones de la derecha son:

D, 5;
B, 3.5;
C, 2;
I, 0.

Entonces la nota mínima de cada candidato es:

I: 0
B: 3.5
C: 2
D: 0

Por lo tanto, en este método de votación el ganador es el candidato B, porque su nota mínima es la mayor de todas. Es, como se puede apreciar, un método de votación extremadamente sencillo de aplicar, pero que da resultados completamente distintos del método de votación mayoritario (ver la entrada Democracia I-I). En nuestra próxima entrada discutiremos algunas propiedades “filosóficas” del método de votación que proponemos.